集合の濃度まとめ

はじめに

この記事の目標は，

「上実数値連続関数全体の集合の濃度は，の濃度と等しい」

を示すことです．
この主張を示すには，集合の濃度に関する基礎的な主張をある程度網羅する必要があり，理解の目安になるのではないかと思います．

ただし，上実数値連続関数が有理数での値によって決まることは，濃度の話から反れるので既知とします．

Bernsteinの定理

Introduction

集合の濃度についてのお話です．
集合 の間に全単射が存在するとき， と表します．また， から への単射が存在するとき， と表します．
集合の濃度は，（記号の使い方から察せられるように）順序関係の公理を満たします．つまり，次の3つが成り立ちます．

1. 
2. かつ
3. かつ

1.と2.は定義から直ちにわかりますが，3.は明らかではありません．これを保証するのが，Bernsteinの定理です．この記事ではその証明を紹介します．

集合列の極限

Introduction

数列の極限のように，集合列にも極限を考えることができます．
実数列が収束することは，その上極限・下極限
\begin{align}
& \overline{\lim}\limits_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k, \\
& \underline{\lim}\limits_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k
\end{align}が一致することと同値でした．
これを用いると，実数列の上極限・下極限に類似した概念として，集合列の上極限・下極限が自然に考えられ，集合列の収束を定義することができます．

まず，実数列の上極限・下極限の定義に登場する実数の上限・下限が，集合においてどのような概念に対応するかを考えてみましょう．